Matemàtiques II PAU

Proves PAU Comunitat Valenciana

Setembre 2020 Ciències

Problema 1

Donat el sistema d’equacions \begin{cases} x+\alpha y + 2z = 3 \\ x-3y+\alpha z = -2 \\ x+y+2z = \alpha \end{cases}, on \alpha és un paràmetre real. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. Els valors d’\alpha per als que el sistema és compatible. (4 punts)
  2. La solució del sistema quan \alpha = 0. (3 punts)
  3. Les solucions del sistema en el cas que siga compatible indeterminat. (3 punts)

Problema 2

Es donen els plans \pi: x+y = 1, \pi': x-y+z=1 i el punt P(1,-1,0).Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. Unes equacions paramètriques de la recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans \pi i \pi'. (3 punts)
  2. La distància de la recta r als plans \pi i \pi'. (3 punts)
  3. Les equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment a la recta obtinguda com intersecció dels plans \pi i \pi'. (4 punts)

Problema 3

Donada la funció f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}, obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. El domini de definició i les assímptotes de la funció f. (3 punts)
  2. Els intervals de creixement i decreixement, així com la representació gràfica de la funció. (3 + 1 punts)
  3. El valor de \displaystyle \int_2^3 f(x) \ dx. (3 punts)

Problema 4

Siga A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. La justificació de que A té inversa i el càlcul de dita matriu inversa. (3 punts)
  2. Dos constants a i b de manera que A^{-1} = A^2+aA+bI. Es pot utilitzar (sense comprovar-ho) que A verifica que A^3-3A^2+3A-I = 0 sent I la matriu identitat. (3 punts)
  3. El valor de \lambda per a que el sistema d’equacions \big( A-\lambda I \big) \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} tinga infinites solucions. Per a dit valor de \lambda trobar totes les solucions del sistema. (2+2 punts)

Problema 5

Es donen les rectes r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}, \ \lambda \in \mathbb{R}, \ \ s: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+2}{1} i el pla \pi: 3x+\alpha y-z+1=0. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. Si hi ha algun valor del paràmetre \alpha per al que la recta r està continguda en el pla \pi. (4 punts)
  2. La distància entre les rectes r i s. (3 punts)
  3. El cosinus de l’angle que forma la recta r i la recta t: \begin{cases} 2x-y = 0 \\ y-z = 2 \end{cases}. (3 punts)

Encara no disponible

Problema 6

Els vèrtexs d’un triangle són A(0,12), \ B(-5,0) i C(5,0). Es desitja construir un rectangle inscrit en el triangle anterior, de costats paral·lels als eixos coordenats i dos dels dels seus vèrtexs tenen coordenades (-x,0), \ (x,0), on 0 \leq x \leq 5. Els altres dos vèrtexs estan situats als segments AB i AC. Obtindre raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. L’expressió f(x) de l’àrea del rectangle anterior. (4 punts)
  2. El valor d’x per al que l’àrea és màxima i les dimensions del rectangle obtingut. (3 punts)
  3. La proporció entre l’àrea del rectangle anterior i l’àrea del triangle. (3 punts)