Problemes d’optimització – Matemàtiques II PAU

Juliol 2022 – Problema 6

Considerar la funció $f(x) = e^{-x^2}$ per als valors positius de $x$ . Per cada punt $M = \big( x, f(x) \big)$ de la gràfica de $f$ es tracen dues rectes paral·leles als eixos de coordenades $OX$ i $OY$ . Aquestes dues rectes, junt amb els eixos de coordenades, defineixen un rectangle.

Determinar l’àrea del rectàngle en funció de $x$ . (3 punts)
Trobar el punt $M$ que proporciona major àrea i calcular aquesta àrea. (7 punts)

Juny 2022 – Problema 6

Es desitja construir un quadrat i un triangle equilàter tallant en dues parts un cable d’acer de 240 metres de longitud.

Calcular la suma de les àrees del triangle i del quadrat en funció del valor $x$ que correspon amb els metres que mesura un costat del triangle. (3 punts)
Calcular la longitud de cable necessària per a construir el triangle de manera que la suma de les àrees del triangle i del quadrat siga mínima i calcular l’àrea mínima. (7 punts)

Juliol 2021 – Problema 6

Volem dissenyar un camp de joc de manera que la part central siga rectangular, i les parts laterals siguen semicircumferències cap a fora. La superfície del camp mesura $(4+\pi$ metres quadrats. Es volen pintar totes les ratlles de dit camp tal i com es mostra en la figura. Es demana:

Escriviu la longitud total de les ratlles del camp en funció de l’altura $y$ del rectangle. (5 punts)
Calculeu les dimensions del camp per a que la pintura utilitzada siga mínima. (5 punts)

Juny 2021 – Problema 6

Un espill pla, quadrat, de 80 cm de costat, s’ha trencat per un cantó seguint una línia recta. El tros desprès té forma de triangle rectangle de catets 32 cm i 40 cm respectivament. En l’espill trencat retallem una peça rectangular $R$ , un dels vèrtexs de la qual és el punt $(x,y)$ (vegeu la figura).

Trobeu l’àrea de la peça rectangular obtinguda com a funció de $x$ , quan $0 \leq x \leq 32$ . (4 punts)
Calculeu les dimensions que tindrà $R$ perquè la seua àrea siga màxima. (4 punts)
Calculeu el valor d’aquesta àrea màxima. (2 punts)

Setembre 2020 – Problema 6

Els vèrtexs d’un triangle són $A(0,12), \ B(-5,0)$ i $C(5,0)$ . Es desitja construir un rectangle inscrit en el triangle anterior, de costats paral·lels als eixos coordenats i dos dels dels seus vèrtexs tenen coordenades $(-x,0), \ (x,0)$ , on $0 \leq x \leq 5$ . Els altres dos vèrtexs estan situats als segments $AB$ i $AC$ . Obtindre raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’expressió $f(x)$ de l’àrea del rectangle anterior. (4 punts)
El valor d’ $x$ per al que l’àrea és màxima i les dimensions del rectangle obtingut. (3 punts)
La proporció entre l’àrea del rectangle anterior i l’àrea del triangle. (3 punts)

Juliol 2020 – Problema 6

En un triangle isòsceles, els dos costats iguals mesuren 10 centímetres cadascun . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’expressió de l’àrea $A(x)$ del triangle, en funció de la longitud $x$ del tercer costat. (4 punts)
Els intervals de creixement i decreixement de la funció $A(x), \ 0 \leq x \leq 20$ . (4 punts)
La longitud $x$ del tercer costat per a que l’àrea del triangle siga màxima i el valor d’aquesta àrea. (2 punts)

Encara no disponible

Juliol 2019 – Problema 3.B.

Un projectil està unit al punt $(0,2)$ per una corda elàstica i tensa. El projectil recorre la corba $y=4-x^2$ d’extrems $(-2,0)$ i $(2,0)$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La funció de la variable $x$ que expressa la distància entre un punt qualsevol $(x, 4-x^2)$ de la corba $y = 4-x^2$ i el punt $(0,2)$ . (2 punts)
Els punts de la corba $y = 4-x^2$ a major distància absoluta del punt $(0,2)$ per a $-2 \leq x \leq 2$ . (2 punts)
Els punts de la corba $y = 4-x^2$ a menor distància absoluta del punt $(0,2)$ per a $-2 \leq x \leq 2$ . (2 punts)
L’àrea de la superfície per la que s’ha menejat la corda elàstica, és a dir, l’àrea compresa entre les corbes $y = 4-x^2$ i $y = 2-|x|$ quan $-2 \leq x \leq 2$ . (4 punts)

Juny 2019 – Problema 3.B.

Les coordenades inicials dels mòbils $A$ i $B$ són $(0,0)$ i $(250, 0)$ , respectivament, sent 1 km la distància de l’origen de coordenades a cadascun dels punts $(1,0)$ i $(0,1)$ .

El mòbil $A$ es desplaça sobre l’eix $OY$ des de la seua posició inicial fins el punt $\left( 0, \dfrac{375}{2} \right)$ amb una velocitat de 30 km/h i, simultàniament, el mòbil $B$ es desplaça sobre l’eix $OX$ des de la seua posició inicial fins l’origen de coordenades a una velocitat de 40 km/h.

Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La distància $f(t)$ entre els mòbils $A$ i $B$ durant el desplaçament, en funció del temps $t$ en hores des de que començaren a desplaçar-se. (2 punts)
El temps $T$ que tarden els mòbils en desplaçar-se des de la seua posició inicial a la seua posició final, i els intervals de creixement i de decreixement de la funció $f$ al llarg del trajecte. (4 punts)
Els valors de $t$ per als que la distància dels mòbils és màxima i mínima durant el seu desplaçament i dites distàncies màxima i mínima. (4 punts)