Juliol 2019 Ciències – Matemàtiques II PAU

Opció A – Problema 1

Donat el sistema d’equacions $\begin{cases} 2x \hspace{1cm} + 3z = \alpha \\ x-2y+2z = 5 \\ 3x - y + 5z = \alpha + 1 \end{cases}$ , sent $\alpha$ un paràmetre real. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Els valors del paràmetre $\alpha$ per als que el sistema es compatible i determinat. (4 punts)
Les solucions del sistema quan $\alpha = -1$ . (3 punts)
El valor d’ $\alpha$ per a que el sistema tinga una solució $(x,y,z)$ que verifique $x + y + z = 0$ . (3 punts)

Opció A – Problema 2

Es tenen el pla $\pi: 2x+y+2z = 8$ i el punt $P = (10, 0, 10 )$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La distància del punt $P$ al pla $\pi$ . (3 punts)
L’àrea del triangle el qual els seus vèrtexs són els punts $A, B$ i $C$ , obtinguts al trobar la intersecció del pla $\pi$ amb els eixos de coordenades. (4 punts)
El volum del tetraedre el qual els seus vèrtexs són $P, A, B$ i $C$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Opció A – Problema 3

Es dona la funció real $h$ definida per $h(x) = \dfrac{x^3+x^2+5x-3}{x^2+2x+5}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El domini de la funció $h$ . Els límits $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x)$ i $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ . (1+2 punts)
L’assímptota de la corba $y = h(x)$ . (2 punts)
La primitiva de la funció $h$ (és a dir, $\int h(x) \ dx$ ) i l’àrea de la superfície tancada entre les rectes $y= 0, \ x=1, \ x=5$ i la corba $y = h(x)$ . (3+2 punts)

Opció B – Problema 1

Es donen les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$ i $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Els valors d’ $\alpha$ per als que l’equació matricial $AX = \alpha X$ sols admet una solució. (4 punts)
Totes les solucions de l’equació matricial $AX = 5X$ . (3 punts)
Comprovar que $X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ és una solució de l’equació matricial $AX = 2X$ i, sense calcular la matriu $A^{100}$ , obtenir el valor de $\beta$ tal que $A^{100}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ . (2 punts)

Opció B – Problema 2

Es donen en l’espai la recta $r: \ \dfrac{x-\alpha}{-1} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z}{\beta}$ i el pla $\pi: \ x+2y+3z=6$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La posició relativa de la recta $r$ y el pla $\pi$ en funció dels paràmetres reals $\alpha$ i $\beta$ . (5 punts)
La distància entre la recta $r$ i el pla $\pi$ quan $\alpha = 6$ i $\beta = 3$ . (3 punts)
L’equació del pla que passa per $(0,0,0)$ i que no talla al pla $\pi$ . (2 punts)

Encara no disponible.

Opció B – Problema 3

Un projectil està unit al punt $(0,2)$ per una corda elàstica i tensa. El projectil recorre la corba $y=4-x^2$ d’extrems $(-2,0)$ i $(2,0)$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La funció de la variable $x$ que expressa la distància entre un punt qualsevol $(x, 4-x^2)$ de la corba $y = 4-x^2$ i el punt $(0,2)$ . (2 punts)
Els punts de la corba $y = 4-x^2$ a major distància absoluta del punt $(0,2)$ per a $-2 \leq x \leq 2$ . (2 punts)
Els punts de la corba $y = 4-x^2$ a menor distància absoluta del punt $(0,2)$ per a $-2 \leq x \leq 2$ . (2 punts)
L’àrea de la superfície per la que s’ha menejat la corda elàstica, és a dir, l’àrea compresa entre les corbes $y = 4-x^2$ i $y = 2-|x|$ quan $-2 \leq x \leq 2$ . (4 punts)