Juny 2019 Ciències – Matemàtiques II PAU

Opció A – Problema 1

Es donen la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a+1 & 2 \\ -3 & a-1 & a \end{pmatrix}$ , que depèn del paràmetre $a$ , i una matriu quadrada $B$ d’ordre 3 tal que $B^2 = \dfrac{1}{3}I - 2B$ sent $I$ la matriu identitat d’ordre 3. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$ i el determinant de la matriu $2A^{-1}$ quan $a=1$ . (2+2 punts)
Totes les solucions del sistema d’equacions $A = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ quan $a = -1$ . (3 punts)
La comprovació de que $B$ és invertible, trobant $m$ i $n$ tals que $A^{-1} = mB + nI$ . (3 punts)

Opció A – Problema 2

Considerem en l’espai les rectes $r: \ \begin{cases} x-y+3 &= 0 \\ 3x-z+4 &= 0 \end{cases}$ i $s:\ x=y+1 = \dfrac{z-2}{2}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’equació del pla que conté les rectes $r$ i $s$ . (3 punts)
La recta que passa per $P = (0,-1,2)$ i talla perpendicularment a la recta $r$ . (4 punts)
El valor que deuen tindre els paràmetres reals $a$ i $b$ per a que la recta $s$ estiga continguda en el pla $\pi:\ x-2y+az=b$ . (3 punts)

Opció A – Problema 3

Es considera la funció $f(x) = xe^{-x^2}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utiltizat:

Les assímptotes, els intervals de creixement i de decreixement, així com els màxims i mínims relatius de la funció $f(x)$ . (3 punts)
La representació gràfica de la corba $y = f(x)$ . (2 punts)
El valor del paràmetre $a$ per a que es puga aplicar el teorema de Rolle en l’interval $[0,1]$ a la funció $g(x) = f(x) + ax$ . (1 punt)
El valor de les integrals indefinides $\int f(x) \ dx$ i $\int xe^{-x} \ dx$ . (4 punts)

Opció B – Problema 1

Es té el sistema d’equacions $\begin{cases} x+y+z = 4 \\ 3x + 4y + 5z = 5 \\ 7x+9y + 11z = \alpha \end{cases}$ , on $\alpha$ és un paràmetre real. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat

Els valors del paràmetre $\alpha$ per als que el sistema és compatible i els valors d’ $\alpha$ per als que el sistema és incompatible. (4 punts)
Totes les solucions del sistema quan siga compatible. (4 punts)
La discussió de la compatibilitat i determinació del nou sistema deduït de l’anterior al canviar el coeficient 11 per qualsevol altre nombre diferent. (2 punts)

Opció B – Problema 2

Siga $\pi$ el pla d’equació $9x+12y+20z = 180$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Les equacions dels dos plans paral·lels a $\pi$ que disten 4 unitats de $\pi$ . (4 punts)
Els punts $A, B$ i $C$ intersecció del pla $\pi$ amb els eixos $OX, OY$ i $OZ$ i l’angle que formen els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ . (4 punts)
El volum del tetraedre el qual els seus vèrtexs són l’origen $O$ de coordenades i els punts $A, B$ i $C$ . (2 punts)

Encara no disponible.

Opció B – Problema 3

Les coordenades inicials dels mòbils $A$ i $B$ són $(0,0)$ i $(250, 0)$ , respectivament, sent 1 km la distància de l’origen de coordenades a cadascun dels punts $(1,0)$ i $(0,1)$ .

El mòbil $A$ es desplaça sobre l’eix $OY$ des de la seua posició inicial fins el punt $\left( 0, \dfrac{375}{2} \right)$ amb una velocitat de 30 km/h i, simultàniament, el mòbil $B$ es desplaça sobre l’eix $OX$ des de la seua posició inicial fins l’origen de coordenades a una velocitat de 40 km/h.

Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La distància $f(t)$ entre els mòbils $A$ i $B$ durant el desplaçament, en funció del temps $t$ en hores des de que començaren a desplaçar-se. (2 punts)
El temps $T$ que tarden els mòbils en desplaçar-se des de la seua posició inicial a la seua posició final, i els intervals de creixement i de decreixement de la funció $f$ al llarg del trajecte. (4 punts)
Els valors de $t$ per als que la distància dels mòbils és màxima i mínima durant el seu desplaçament i dites distàncies màxima i mínima. (4 punts)