Matemàtiques II PAU

Proves PAU Comunitat Valenciana

Juny 2021 Ciències

En les respostes es deuen escriure tots els passos del raonament utilitzat.

Problema 1

Donat el sistema d’equacions \begin{cases} x+y+(a + 1)z = 2 \\ x + (a -1)y + 2z = 1 \\ 2x + a y + z = -1 \end{cases}.
  1. Estudieu-lo en funció dels valors del paràmetre real a. (5 punts)
  2. Trobeu totes les solucions del sistema quan aquest siga compatible. (5 punts)

Problema 2

Es donen els plans \pi_1: x+y+z=a-1, \pi_2: 2x+y+az=a i \pi_3: x+ay+z = 1.
  1. Determineu la posició relativa dels tres plans en funció del paràmetre a. (4 punts)
  2. Per a a = 1, calculeu, si existeix, la recta de tall entre els plans \pi_1 i \pi_3. (3 punts)
  3. Per a a = 2, calculeu, si existeix, la recta de tall entre els plans \pi_1 i \pi_2. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 3

Considerem la funció f(x) = \dfrac{x-1}{x(x+2)}. Obtingau:
  1. El domini i les assímptotes de la funció. (2 punts)
  2. Els intervals de creixement i de decreixement de f(x). (4 punts)
  3. La integral \int f(x) \ dx. (4 punts)

Problema 4

Donada la matriu A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2+1 \end{bmatrix}, es demana:
  1. Obtingau el rang de la matriu en funció del paràmetre m. (4 punts)
  2. Expliqueu quan la matriu A és invertible. (2 punts)
  3. Resoleu l’equació XA=I on I és la matriu identitat en el cas que m=1. (4 punts)

Problema 5

Donats el punt P(1,2,3) i el pla \pi \equiv 3x+2y+z+4 = 0, es demana:
  1. Calculeu la distància del punt P al pla \pi. (2 punts)
  2. Calculeu el punt P' que és simètric del punt P respecte del pla \pi. (5 punts)
  3. Calculeu l’equació del pla \pi' que passa per P' i és paral·lel a \pi. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 6

Un espill pla, quadrat, de 80 cm de costat, s’ha trencat per un cantó seguint una línia recta. El tros desprès té forma de triangle rectangle de catets 32 cm i 40 cm respectivament. En l’espill trencat retallem una peça rectangular R, un dels vèrtexs de la qual és el punt (x,y) (vegeu la figura).
  1. Trobeu l’àrea de la peça rectangular obtinguda com a funció de x, quan 0 \leq x \leq 32. (4 punts)
  2. Calculeu les dimensions que tindrà R perquè la seua àrea siga màxima. (4 punts)
  3. Calculeu el valor d’aquesta àrea màxima. (2 punts)