Matrius i determinants – Matemàtiques II PAU

Juliol 2022 – Problema 2

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} a+b & 1 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}$ :

Calcular els valors dels paràmetres $a$ i $b$ per a que es complisca que $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . (4 punts)
Per als valors d’ $a$ i $b$ obtinguts en l’apartat anterior, calcular $A^3$ i $A^4$ . (3 punts)
Calcular $det(A^{-50})$ quan $a^2-b^2 \neq 0$ . (3 punts)

Juny 2022 – Problema 1

Donades les matrius $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ i $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ . Es demana:

Demostrar que $C - AB^T$ té inversa i calcular-la. (4 punts)
Calcular la matriu $X$ que verifica $CX = AB^TX+I$ , on $I$ és la matriu identitat. (3 punts)
Justificar que $(AB^T)^n = 2^nI$ per a tot nombre natural $n$ . (3 punts)

Juny 2022 – Problema 2

div>Donada la matriu $A = \begin{bmatrix} m & 0 & m-1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{bmatrix}$ . Determinar:

El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre real $m$ . (4 punts)
La matriu inversa d’ $A$ en el cas $m = 2$ . (4 punts)
El nombre real $m$ per al que el determinant de la matriu $2A$ és igual a $-8$ . (2 punts)

Juliol 2021 – Problema 4

Es donen les matrius $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{bmatrix}$ i $B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ . Obtingau:

El rang de la matriu $A$ segons els valors del paràmetre $a$ . (3 punts)
Una matriu $C$ tal que $AC = 16 I$ , sent $I$ la matriu identitat, quan $a = 0$ . (4 punts)
El rang de la matriu $B$ i la discussió de si el sistema $B \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ té solució. (3 punts)

Juny 2021 – Problema 4

Donada la matriu $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2+1 \end{bmatrix}$ , es demana:

Obtingau el rang de la matriu en funció del paràmetre $m$ . (4 punts)
Expliqueu quan la matriu $A$ és invertible. (2 punts)
Resoleu l’equació $XA=I$ on $I$ és la matriu identitat en el cas que $m=1$ . (4 punts)

Setembre 2020 – Problema 4

Siga $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La justificació de que $A$ té inversa i el càlcul de dita matriu inversa. (3 punts)
Dos constants $a$ i $b$ de manera que $A^{-1} = A^2+aA+bI$ . Es pot utilitzar (sense comprovar-ho) que $A$ verifica que $A^3-3A^2+3A-I = 0$ sent $I$ la matriu identitat. (3 punts)
El valor de $\lambda$ per a que el sistema d’equacions $\big( A-\lambda I \big) \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ tinga infinites solucions. Per a dit valor de $\lambda$ trobar totes les solucions del sistema. (2+2 punts)

Juliol 2020 – Problema 4

Es donen les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix}$ , que depenen del paràmetre real $b$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Els valors de $b$ per a que cadascuna de les matrius $AB$ i $BA$ tinguen inversa. (3 punts)
Els valors de $b$ per a que la matriu $A^TA$ tinga inversa, sent $A^T$ la matriu trasposta d’ $A$ . (3 punts)
La inversa d’ $A^TA$ , quan aquesta inversa existisca. (4 punts)

Juliol 2019 – Problema 1.B.

Es donen les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$ i $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Els valors d’ $\alpha$ per als que l’equació matricial $AX = \alpha X$ sols admet una solució. (4 punts)
Totes les solucions de l’equació matricial $AX = 5X$ . (3 punts)
Comprovar que $X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ és una solució de l’equació matricial $AX = 2X$ i, sense calcular la matriu $A^{100}$ , obtenir el valor de $\beta$ tal que $A^{100}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ . (2 punts)

Juny 2019 – Problema 1.A.

Es donen la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a+1 & 2 \\ -3 & a-1 & a \end{pmatrix}$ , que depèn del paràmetre $a$ , i una matriu quadrada $B$ d’ordre 3 tal que $B^2 = \dfrac{1}{3}I - 2B$ sent $I$ la matriu identitat d’ordre 3. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$ i el determinant de la matriu $2A^{-1}$ quan $a=1$ . (2+2 punts)
Totes les solucions del sistema d’equacions $A = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ quan $a = -1$ . (3 punts)
La comprovació de que $B$ és invertible, trobant $m$ i $n$ tals que $A^{-1} = mB + nI$ . (3 punts)