Juliol 2020 Ciències – Matemàtiques II PAU

Problema 1

Donat el sistema d’equacions $\begin{cases} x+y+\alpha z = 1 \\ x+\alpha y + z = 1 \\ \alpha x + y + z = -2 \end{cases}$ , sent $\alpha$ un paràmetre real. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’estudi del sistema en funció del paràmetre $\alpha$ . (5 punts)
Les solucions del sistema quan $\alpha = -2$ . (3 punts)
La solució del sistema quan $\alpha = 0$ . (2 punts)

Problema 2

Siga la recta $r: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}$ i els punts $P = (1,0,0)$ i $Q = (2,1,\alpha)$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El valor d’ $\alpha$ per a que la recta que passa $P$ i $Q$ siga paral·lela a $r$ . (3 punts)
L’equació del pla que conté a $P$ i $Q$ i és paral·lel a $r$ , quan $\alpha = 1$ . (3 punts)
La distància del punt $Q$ al pla que passa per $P$ i és perpendicular a $r$ , quan $\alpha = 1$ . (4 punts)

Encara no disponible

Problema 3

Es dona la funció real $f$ definida per $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El domini i les assímptotes de la funció $f$ . (3 punts)
La integral $\int f(x) \ dx$ , així com la primitiva de $f(x)$ la gràfica de la qual passa pel punt $(2,0)$ . (3+1 punts)
L’àrea de la regió limitada per la corba $y = f(x)$ i les rectes $y=0$ , $x=2$ i $x=4$ . (3 punts)

Encara no disponible

Problema 4

Es donen les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix}$ , que depenen del paràmetre real $b$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Els valors de $b$ per a que cadascuna de les matrius $AB$ i $BA$ tinguen inversa. (3 punts)
Els valors de $b$ per a que la matriu $A^TA$ tinga inversa, sent $A^T$ la matriu trasposta d’ $A$ . (3 punts)
La inversa d’ $A^TA$ , quan aquesta inversa existisca. (4 punts)

Problema 5

Es donen el pla $\pi: 2x+y-z-5 = 0$ i els punts $A(1,2,-1)$ i $B(2,1,0)$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’equació implícita del pla que passa pels punts $A$ i $B$ i és perpendicular a $\pi$ . (4 punts)
Les equacions paramètriques de la recta $r$ que és perpendicular a $\pi$ i passa per $A$ . Troba dos plans els quals la seua intersecció siga la recta $r$ . (1+2 punts)
La distància entre el punt $B$ i la recta $r$ . (3 punts)

Encara no disponible

Problema 6

En un triangle isòsceles, els dos costats iguals mesuren 10 centímetres cadascun . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’expressió de l’àrea $A(x)$ del triangle, en funció de la longitud $x$ del tercer costat. (4 punts)
Els intervals de creixement i decreixement de la funció $A(x), \ 0 \leq x \leq 20$ . (4 punts)
La longitud $x$ del tercer costat per a que l’àrea del triangle siga màxima i el valor d’aquesta àrea. (2 punts)

Encara no disponible