Probabilitat

Donats dos succesoss i , se sap que i , en que i són els successos complementaris d’ i , respectivament. Es demana:

1. Calcular la probabilitat del succés . (2,5 punts)
2. Calcular la probabilitat que solament es verifique un dels successos. (2,5 punts)
3. Calcular la probabilitat de condicionat a . (2,5 punts)
4. Són independents els successos i ? (2,5 punts)
   

El director d’una entitat que audita la comptabilitat d’empreses sap, per experiències passades, que quan es fa una auditoria el 30% de les empreses mereix una qualificació «d’Excel·lent», el 50% de les empreses mereix la qualificació «d’Acceptable» i el 20% restant mereix una qualificació de «Deficient». El director també sap que entre els auditors de la seua entitat hi ha un 90% d’auditors que sempre auditen correctament i donen a cada empresa la qualificació que mereix; però hi ha un 10% d’auditors que no auditen correctament i donen sempre una qualificació «d’Acceptable».

1. Quina proporció d’empreses auditades per aquesta entitat rep la qualificació de «Deficient»? (3 punts)
2. Quina proporció d’empreses auditades per aquesta entitat rep la qualificació que realment mereix? (3 punts)
3. Per a analitzar si un determinat auditor audita correctament o no, el director li encarrega que audite la comptabilitat d’una empresa triada a l’atzar. No sabem quina és la qualificació que es mereix l’empresa. Si l’auditor dona la qualificació «d’Acceptable», quina és la probabilitat que aquest auditor siga un dels quals sempre auditen correctament?  (4 punts)
   

Entre els clients d’una companyia d’assegurances d’automòbils, un 30% té menys de 30 anys, un 55% té entre 30 i 60 anys, i el 15% restant té més de 60 anys. Se sap que, entre els clients de menys de 30 anys, 3 de cada 4 no van presentar comunicat d’accident l’any passat; entre els clients que tenen entre 30 i 60 anys, 9 de cada 10 no van presentar comunicat d’accident l’any passat; i entre els clients de més de 60 anys, 2 de cada 5 no van presentar comunicat d’accident l’any passat. Seleccionem a l’atzar un client de la companyia.

1. Anomenem el succés «el client seleccionat té més de 60 anys» i anomenem el succés «el client seleccionat no va presentar comunicat d’accident l’any passat». Calculeu . (3 punts)
2. Anomenem el succés «el client seleccionat té 30 anys o més» i anomenem el succés «el client seleccionat va presentar comunicat d’accident l’any passat». Calculeu . (3 punts)
3. Si sabem que el client seleccionat va presentar comunicat d’accident l’any passat, calculeu la probabilitat que tinga 60 anys o menys. (4 punts)

En un joc es llancen dues monedes equilibrades i un dau de sis cares equilibrat. Un jugador guanya si obté dues cares i un nombre parell en el dau, o bé si obté exactament una cara i un nombre major o igual que cinc en el dau.

1. Calculeu la probabilitat de que el jugador guanye. (2,5 punts)
2. Si se sap que ha guanyat, quina és la probabilitat que obtinguera dues cares en llançar les monedes? (2,5 punts)
3. Si se sap que ha guanyat, quina és la probabilitat que obtinguera un cinc en llançar el dau? (2,5 punts)
4. Anomenem el succés «el jugador no guanya» i anomenem el succés «el jugador obté un sis en llançar el dau». Són independents els successos i ? (2,5 punts)
   

En un sorteig, un jugador extrau dues boles sense reemplaçament d’una urna que conté 2 boles blanques, 3 boles grogues i 5 boles negres. El jugador aconsegueix el primer premi si les dues boles extretes són blanques, aconsegueix el segon premi si les dues boles extretes són grogues i aconsegueix el tercer premi si una de les dues boles extretes és blanca i l’altra no ho és. No hi ha més premis al sorteig.

1. Calcula la probabilitat de que el jugador aconsegueisca el primer o el segon premi. (4 punts)
2. Calcula la probabilitat de que el jugador aconsegueisca el tercer premi. (3 punts)
3. Si un jugador ens diu que ha obtingut premi al sorteig, quina és la probabilitat de que haja obtingut el tercer premi? (3 punts)

Una determinada malaltia afecta actualment al 5% de la població. L’únic test disponible per a detectar la malaltia té una probabilitat del 99% de classificar correctament als malalts (probabilitat de que el test done positiu si la persona té la malaltia), mentre que la probabilitat de que el test done negatiu si la persona no està malalta és del 95%. Es demana:

1. La probabilitat de que una persona estiga malalta si ha donat positiu en el test. (2,5 punts)
2. La probabilitat de que una persona estiga sana si ha donat negatiu en el test. (2,5 punts)
3. La probabilitat de que el test done el resultat correcte. (2,5 punts)
4. Existeixen indicis per a creure que la malaltia afecta únicament a un 1% de la població. Quina és la probabilitat de que una persona estiga malalta si ha donat positiu en el test en aquest cas? (2,5 punts)
   

Si i són dos successos tals que , i , es demana:

1. Són independents els succesos i ? Per què? (2,5 punts)
2. Calcula . (2,5 punts)
3. Calcula . (2,5 punts)
4. Calcula i . (2,5 punts)
   

Una empresa fabrica protectors de pantalla per a telèfons mòbils. L’empresa produeix tres tipus de protectors, de 4 polzades, de 4,7 polzades i de 5 polzades. Considerem la població dels habitants d’una ciutat que estan en posessió d’un únic telèfon mòbil i la mesura d’aquest és una d’aquestes tres. Un estudi de mercat indica que el 30% dels telèfons mòbils tenen una pantalla de 4 polzades. Aquest mateix estudi indica que el 30% dels usuaris d’un telèfon mòbil d’una pantalla de 4 polzades utilitza un protector de pantalla. Aquest també és el cas del 25% dels que tenen un telèfon mòbil amb una pantalla de 4,7 polzades i del 40% dels que posseeixen un telèfon mòbil amb una pantalla de 5 polzades.

1. Si el 34% dels que tenen un telèfon mòvil utilitzen un protector de pantalla, calculeu el percentatge dels que utilitzen un telèfon mòbil de 4,7 polzades i el percentatge dels que utilitzen un telèfon mòbil de 5 polzades. (4 punts)
2. Es considera un usuari de telèfon mòbil amb protector de pantalla. Calcula la probabilitat de que utilitze un telèfon mòbil amb una pantalla de 5 polzades. (4 punts)
3. Considerem ara una persona que té un telèfon mòbil i la seua pantalla no és de 4,7 polzades. Calcula la probabilitat de que utilitze un telèfon mòbil amb una pantalla de 5 polzades. (3 punts)