Juny 2022 Ciències – Matemàtiques II PAU

En les respostes es deuen escriure tots els passos del raonament utilitzat.

Problema 1

Donades les matrius $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ i $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ . Es demana:

Demostrar que $C - AB^T$ té inversa i calcular-la. (4 punts)
Calcular la matriu $X$ que verifica $CX = AB^TX+I$ , on $I$ és la matriu identitat. (3 punts)
Justificar que $(AB^T)^n = 2^nI$ per a tot nombre natural $n$ . (3 punts)

Problema 2

Donada la matriu $A = \begin{bmatrix} m & 0 & m-1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{bmatrix}$ . Determinar:

El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre real $m$ . (4 punts)
La matriu inversa d’ $A$ en el cas $m = 2$ . (4 punts)
El nombre real $m$ per al que el determinant de la matriu $2A$ és igual a $-8$ . (2 punts)

Problema 3

Donades les rectes $r: \begin{cases} x = z-1 \\ y=2-3z \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x=4-5z \\ y=4z-3 \end{cases}$ , es demana:

Indicar justificadament la posició relativa de $r$ i $s$ . (5 punts)
Trobar l’equació de la recta $l$ que passa per l’origen i talla a $r$ i $s$ . (5 punts)

Encara no disponible.

Problema 4

Donats els plans $\pi_1: 2x-y-z+4 = 0$ i $\pi_2: \begin{cases} x=-1+\alpha \\ y = 1+\alpha+\beta \\ z=\alpha-\beta \end{cases}$ , i la recta $r: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ . Es demana:

Calcular la posició relativa de $\pi_1$ i $\pi_2$ . (3 punts)
Calcular el punt $P'$ que és simètric al punt $P=(1,0,0)$ respecte del pla $\pi_1$ . (4 punts)
Calcular, si existeix, el punt d’intersecció de $\pi_1$ i $r$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 5

Considerem la funció $f(x) = \dfrac{x^2+3}{x^2-4}$ . Obtindre:

El domini i els punts de tall amb els eixos. (1 punt)
Les assímptotes de la funció. (2 punts)
Els intervals de creixement i decreixement, i els extrems. (3 punts)
La primitiva de la funció $f(x)$ . (4 punts)

Problema 6

Es desitja construir un quadrat i un triangle equilàter tallant en dues parts un cable d’acer de 240 metres de longitud.

Calcular la suma de les àrees del triangle i del quadrat en funció del valor $x$ que correspon amb els metres que mesura un costat del triangle. (3 punts)
Calcular la longitud de cable necessària per a construir el triangle de manera que la suma de les àrees del triangle i del quadrat siga mínima i calcular l’àrea mínima. (7 punts)