Geometria – Matemàtiques II PAU

Juliol 2022 – Problema 3

Donats els punts $A = (2,0,0)$ i $B = (0,1,0)$ , i la recta $s: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{3}=z$ :

Trobar l’equació de la recta $r$ que passa pels punts $A$ i $B$ . (2 punts)
Determinar l’equació implícita del pla que conté a la recta $s$ i és paral·lel a la recta $r$ . (4 punts)
Calcular la distància del punt $A$ a la recta $s$ . (4 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2022 – Problema 4

Donats els punts $A = (2,1,-2)$ i $B = (3,2,3)$ , i el pla $\pi$ definit per $2x+2y+z=3$ , obtindre:

El punt de tall $C$ entre el pla $\pi$ i la recta perpendicular a $\pi$ que passa per $B$ . (5 punts)
L’àrea del triangle que té per vèrtexs els punts $A, B$ i $C$ . (5 punts)

Encara no disponible.

Juny 2022 – Problema 3

Donades les rectes $r: \begin{cases} x = z-1 \\ y=2-3z \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x=4-5z \\ y=4z-3 \end{cases}$ , es demana:

Indicar justificadament la posició relativa de $r$ i $s$ . (5 punts)
Trobar l’equació de la recta $l$ que passa per l’origen i talla a $r$ i $s$ . (5 punts)

Encara no disponible.

Juny 2022 – Problema 4

Donats els plans $\pi_1: 2x-y-z+4 = 0$ i $\pi_2: \begin{cases} x=-1+\alpha \\ y = 1+\alpha+\beta \\ z=\alpha-\beta \end{cases}$ , i la recta $r: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ . Es demana:

Calcular la posició relativa de $\pi_1$ i $\pi_2$ . (3 punts)
Calcular el punt $P'$ que és simètric al punt $P=(1,0,0)$ respecte del pla $\pi_1$ . (4 punts)
Calcular, si existeix, el punt d’intersecció de $\pi_1$ i $r$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2021 – Problema 2

Es donen les rectes $r: \begin{cases} x+y -1 = 0 \\ 2x-z-1 = 0 \end{cases}, \ s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$ i el pla $\pi: x+my+z=2$ que depén del paràmetre real $m$ . Es demana:

La posició relativa de les rectes $r$ i $s$ . (4 punts)
El valor del paràmetre $m$ per a que la recta $r$ estiga continguda en el pla $\pi$ . (3 punts)
Els punts $A, B, C$ intersecció del pla $\pi$ amb els eixos coordenats quan $m = 2$ , així com el volum del tetraedre de vèrtexs $A, B, C$ i $P(2,2,2)$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2021 – Problema 5

Donats els punts $P(1,1,0), Q(2,-1,1)$ i $R(\alpha, 3, -1)$ , es demana:

L’equació del pla que conté a $P, Q$ i $R$ quan $\alpha = 1$ i la distància de dit pla a l’origen de coordenades. (3 punts)
L’equació de la recta $r$ que passa per $R$ quan $\alpha = 1$ i és paral·lela a la recta $s$ que passa per $P$ i $Q$ . Calculeu la distància entre les rectes $r$ i $s$ . (4 punts)
Els valors d’ $\alpha$ per als quals $P, Q$ i $R$ estan alineats i l’equació de la recta que els conté. (3 punts)

Encara no disponible.

Juny 2021 – Problema 2

Es donen els plans $\pi_1: x+y+z=a-1$ , $\pi_2: 2x+y+az=a$ i $\pi_3: x+ay+z = 1$ .

Determineu la posició relativa dels tres plans en funció del paràmetre $a$ . (4 punts)
Per a $a = 1$ , calculeu, si existeix, la recta de tall entre els plans $\pi_1$ i $\pi_3$ . (3 punts)
Per a $a = 2$ , calculeu, si existeix, la recta de tall entre els plans $\pi_1$ i $\pi_2$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Juny 2021 – Problema 5

Donats el punt $P(1,2,3)$ i el pla $\pi \equiv 3x+2y+z+4 = 0$ , es demana:

Calculeu la distància del punt $P$ al pla $\pi$ . (2 punts)
Calculeu el punt $P'$ que és simètric del punt $P$ respecte del pla $\pi$ . (5 punts)
Calculeu l’equació del pla $\pi'$ que passa per $P'$ i és paral·lel a $\pi$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Setembre 2020 – Problema 2

Es donen els plans $\pi: x+y = 1$ , $\pi': x-y+z=1$ i el punt $P(1,-1,0)$ .Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Unes equacions paramètriques de la recta $r$ que passa pel punt $P$ i és paral·lela als plans $\pi$ i $\pi'$ . (3 punts)
La distància de la recta $r$ als plans $\pi$ i $\pi'$ . (3 punts)
Les equacions de la recta que passa per $P$ i talla perpendicularment a la recta obtinguda com intersecció dels plans $\pi$ i $\pi'$ . (4 punts)

Setembre 2020 – Problema 5

Es donen les rectes $r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}, \ \lambda \in \mathbb{R}, \ \ s: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+2}{1}$ i el pla $\pi: 3x+\alpha y-z+1=0$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Si hi ha algun valor del paràmetre $\alpha$ per al que la recta $r$ està continguda en el pla $\pi$ . (4 punts)
La distància entre les rectes $r$ i $s$ . (3 punts)
El cosinus de l’angle que forma la recta $r$ i la recta $t: \begin{cases} 2x-y = 0 \\ y-z = 2 \end{cases}$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2020 – Problema 2

Siga la recta $r: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1}$ i els punts $P = (1,0,0)$ i $Q = (2,1,\alpha)$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El valor d’ $\alpha$ per a que la recta que passa $P$ i $Q$ siga paral·lela a $r$ . (3 punts)
L’equació del pla que conté a $P$ i $Q$ i és paral·lel a $r$ , quan $\alpha = 1$ . (3 punts)
La distància del punt $Q$ al pla que passa per $P$ i és perpendicular a $r$ , quan $\alpha = 1$ . (4 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2020 – Problema 5

Es donen el pla $\pi: 2x+y-z-5 = 0$ i els punts $A(1,2,-1)$ i $B(2,1,0)$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’equació implícita del pla que passa pels punts $A$ i $B$ i és perpendicular a $\pi$ . (4 punts)
Les equacions paramètriques de la recta $r$ que és perpendicular a $\pi$ i passa per $A$ . Troba dos plans els quals la seua intersecció siga la recta $r$ . (1+2 punts)
La distància entre el punt $B$ i la recta $r$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2019 – Problema A.2.

Es tenen el pla $\pi: 2x+y+2z = 8$ i el punt $P = (10, 0, 10 )$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La distància del punt $P$ al pla $\pi$ . (3 punts)
L’àrea del triangle el qual els seus vèrtexs són els punts $A, B$ i $C$ , obtinguts al trobar la intersecció del pla $\pi$ amb els eixos de coordenades. (4 punts)
El volum del tetraedre el qual els seus vèrtexs són $P, A, B$ i $C$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2019 – Problema B.2.

Es donen en l’espai la recta $r: \ \dfrac{x-\alpha}{-1} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z}{\beta}$ i el pla $\pi: \ x+2y+3z=6$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La posició relativa de la recta $r$ y el pla $\pi$ en funció dels paràmetres reals $\alpha$ i $\beta$ . (5 punts)
La distància entre la recta $r$ i el pla $\pi$ quan $\alpha = 6$ i $\beta = 3$ . (3 punts)
L’equació del pla que passa per $(0,0,0)$ i que no talla al pla $\pi$ . (2 punts)

Encara no disponible.

Juny 2019 – Problema A.2.

Considerem en l’espai les rectes $r: \ \begin{cases} x-y+3 &= 0 \\ 3x-z+4 &= 0 \end{cases}$ i $s:\ x=y+1 = \dfrac{z-2}{2}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’equació del pla que conté les rectes $r$ i $s$ . (3 punts)
La recta que passa per $P = (0,-1,2)$ i talla perpendicularment a la recta $r$ . (4 punts)
El valor que deuen tindre els paràmetres reals $a$ i $b$ per a que la recta $s$ estiga continguda en el pla $\pi:\ x-2y+az=b$ . (3 punts)

Juny 2019 – Problema B.2.

Siga $\pi$ el pla d’equació $9x+12y+20z = 180$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Les equacions dels dos plans paral·lels a $\pi$ que disten 4 unitats de $\pi$ . (4 punts)
Els punts $A, B$ i $C$ intersecció del pla $\pi$ amb els eixos $OX, OY$ i $OZ$ i l’angle que formen els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ . (4 punts)
El volum del tetraedre el qual els seus vèrtexs són l’origen $O$ de coordenades i els punts $A, B$ i $C$ . (2 punts)

Encara no disponible.