Setembre 2020 Ciències – Matemàtiques II PAU

Problema 1

Donat el sistema d’equacions $\begin{cases} x+\alpha y + 2z = 3 \\ x-3y+\alpha z = -2 \\ x+y+2z = \alpha \end{cases}$ , on $\alpha$ és un paràmetre real. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Els valors d’ $\alpha$ per als que el sistema és compatible. (4 punts)
La solució del sistema quan $\alpha = 0$ . (3 punts)
Les solucions del sistema en el cas que siga compatible indeterminat. (3 punts)

Problema 2

Es donen els plans $\pi: x+y = 1$ , $\pi': x-y+z=1$ i el punt $P(1,-1,0)$ .Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Unes equacions paramètriques de la recta $r$ que passa pel punt $P$ i és paral·lela als plans $\pi$ i $\pi'$ . (3 punts)
La distància de la recta $r$ als plans $\pi$ i $\pi'$ . (3 punts)
Les equacions de la recta que passa per $P$ i talla perpendicularment a la recta obtinguda com intersecció dels plans $\pi$ i $\pi'$ . (4 punts)

Problema 3

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ , obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

El domini de definició i les assímptotes de la funció $f$ . (3 punts)
Els intervals de creixement i decreixement, així com la representació gràfica de la funció. (3 + 1 punts)
El valor de $\displaystyle \int_2^3 f(x) \ dx$ . (3 punts)

Problema 4

Siga $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

La justificació de que $A$ té inversa i el càlcul de dita matriu inversa. (3 punts)
Dos constants $a$ i $b$ de manera que $A^{-1} = A^2+aA+bI$ . Es pot utilitzar (sense comprovar-ho) que $A$ verifica que $A^3-3A^2+3A-I = 0$ sent $I$ la matriu identitat. (3 punts)
El valor de $\lambda$ per a que el sistema d’equacions $\big( A-\lambda I \big) \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ tinga infinites solucions. Per a dit valor de $\lambda$ trobar totes les solucions del sistema. (2+2 punts)

Problema 5

Es donen les rectes $r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}, \ \lambda \in \mathbb{R}, \ \ s: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+2}{1}$ i el pla $\pi: 3x+\alpha y-z+1=0$ . Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

Si hi ha algun valor del paràmetre $\alpha$ per al que la recta $r$ està continguda en el pla $\pi$ . (4 punts)
La distància entre les rectes $r$ i $s$ . (3 punts)
El cosinus de l’angle que forma la recta $r$ i la recta $t: \begin{cases} 2x-y = 0 \\ y-z = 2 \end{cases}$ . (3 punts)

Encara no disponible

Problema 6

Els vèrtexs d’un triangle són $A(0,12), \ B(-5,0)$ i $C(5,0)$ . Es desitja construir un rectangle inscrit en el triangle anterior, de costats paral·lels als eixos coordenats i dos dels dels seus vèrtexs tenen coordenades $(-x,0), \ (x,0)$ , on $0 \leq x \leq 5$ . Els altres dos vèrtexs estan situats als segments $AB$ i $AC$ . Obtindre raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

L’expressió $f(x)$ de l’àrea del rectangle anterior. (4 punts)
El valor d’ $x$ per al que l’àrea és màxima i les dimensions del rectangle obtingut. (3 punts)
La proporció entre l’àrea del rectangle anterior i l’àrea del triangle. (3 punts)