Juliol 2021 CCSS – Matemàtiques II PAU

Problema 1

Una empresa està especialitzada en la preparació de mescles de café. Utilitzant café colombià, brasiler i kenià, l’empresa vol comercialitzar paquets d’1 kg amb un cost de 8,50 € el paquet. El preu d’un quilo de cafè és, respectivament, de 10 €, 6 € i 8 €. Sabent que la quantitat de cafè colombià de la mescla ha de ser el triple de la del cafè brasiler, calcula el percentatge de cada tipus de cafè que ha d’utiltizar-se a la mescla.

(Plantejament correcte 5 punts – Resolució correcta 5 punts)

Encara no disponible.

Problema 2

Considerem les matrius $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ i $C = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Calcula la inversa de la matriu $A - B$ . (3 punts)
Calcula la matriu $X$ de dimensió $2 \times 3$ , que satisfà l’equació $XA + C = X B$ . (4 punts)
Es possible fer el producte $B C$ ? Si la resposta és afirmativa calcula dit producte; en cas contrari, justifica el per què. Es possible fer el producte $C B$ ? Si la resposta és afirmativa calcula dit producte; en cas contrari, justifica el per què. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 3

Atesa la funció $f(x) = \dfrac{x^2-36}{x^2-2x-8}$ , es demana:

El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats. (2 punts)
Les asímptotes horitzontals i verticals, si existeixen. (2 punts)
Els intervals de creixement i decreixement. (2 punts)
Els màxims i mínims locals, si existeixen. (2 punts)
La representació gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors. (2 punts)

Encara no disponible.

Problema 4

Una empresa ha estimat que els ingressos i despeses mensuals (en euros) que genera la fabricació de $x$ unitats d’un producte venen donats per les següents funcions:

Ingresos: $I(x) = 4x^2+800x$ , Despeses: $D(x) = 6x^2+460x+672$

L’empresa considera rentable el producte si el benefici que obté amb ell és major o igual que 0. Quin és el nombre mínim d’unitats que deu fabricar l’empresa per a que el producte siga rentable? (4 punts)
Quin és el nombre d’unitats que deu fabricar l’empresa per a que el benefici siga màxim? Quin és el benefici obtingut en aquest cas? (3 punts)
El pròxim mes s’introduirà una nova normativa que obligarà a l’empresa a fabricar almenys 100 unitats d’aquest producte. Quin és el màxim benefici que podrà obtindre l’empresa després de la implantació d’aquesta normativa? Justifica la teua resposta. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 5

En un sorteig, un jugador extrau dues boles sense reemplaçament d’una urna que conté 2 boles blanques, 3 boles grogues i 5 boles negres. El jugador aconsegueix el primer premi si les dues boles extretes són blanques, aconsegueix el segon premi si les dues boles extretes són grogues i aconsegueix el tercer premi si una de les dues boles extretes és blanca i l’altra no ho és. No hi ha més premis al sorteig.

Calcula la probabilitat de que el jugador aconsegueisca el primer o el segon premi. (4 punts)
Calcula la probabilitat de que el jugador aconsegueisca el tercer premi. (3 punts)
Si un jugador ens diu que ha obtingut premi al sorteig, quina és la probabilitat de que haja obtingut el tercer premi? (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 6

Una determinada malaltia afecta actualment al 5% de la població. L’únic test disponible per a detectar la malaltia té una probabilitat del 99% de classificar correctament als malalts (probabilitat de que el test done positiu si la persona té la malaltia), mentre que la probabilitat de que el test done negatiu si la persona no està malalta és del 95%. Es demana:

La probabilitat de que una persona estiga malalta si ha donat positiu en el test. (2,5 punts)
La probabilitat de que una persona estiga sana si ha donat negatiu en el test. (2,5 punts)
La probabilitat de que el test done el resultat correcte. (2,5 punts)
Existeixen indicis per a creure que la malaltia afecta únicament a un 1% de la població. Quina és la probabilitat de que una persona estiga malalta si ha donat positiu en el test en aquest cas? (2,5 punts)

Encara no disponible.