Optimització de funcions – Matemàtiques II PAU

Juliol 2022 – Problema 4

Una màquina està productiva durant un any des de la seua compra. Se sap que el rendiment (en percentatge) que té la màquina $x$ mesos després de la compra ve donat per la funció $f(x) = \dfrac{1}{100} (800 + 15x + 6x^2 - x^3)$ per a qualsevol valor $x$ entre 0 i 12.

És el rendiment que té la màquina un mes després de la compra superior al rendiment que té dos mesos després de la compra? (2 punts)
Després de quants mesos després de la compra arriba la màquina al seu major rendiment?; quin és aquest rendiment màxim? (4 punts)
Al llarg de l’any, té en algun moment la màquina un rendiment inferior al 10%? (4 punts)

Juny 2022 – Problema 4

En una empresa s’ha comprovat que els seus beneficis estan relacionats amb la seua inversió en publicitat segons la funció $B(x) = 50\ 000 + 40\ x - \left( \dfrac{x}{10} \right)^2$ , en què $x$ és la inversió en publicitat $(x\geq 0 )$ i $B(x)$ és el benefici obtingut, tots dos en euros.

Calculeu la quantitat invertida en publicitat que produeix un benefici màxim. Quin és aquest benefici màxim? (4 punts)
Calculeu els intervals per a la inversió en publicitat en els quals els beneficis creixen o decreixen a mesura que s’inverteix en publicitat. (3 punts)
Hi ha un valor per a la inversió en publicitat a partir del qual els beneficis obtinguts serien més baixos que si no s’invertira res en publicitat? En cas afirmatiu, determineu-ho. (3 punts)

Juliol 2021 – Problema 4

Una empresa ha estimat que els ingressos i despeses mensuals (en euros) que genera la fabricació de $x$ unitats d’un producte venen donats per les següents funcions:

Ingresos: $I(x) = 4x^2+800x$ , Despeses: $D(x) = 6x^2+460x+672$

L’empresa considera rentable el producte si el benefici que obté amb ell és major o igual que 0. Quin és el nombre mínim d’unitats que deu fabricar l’empresa per a que el producte siga rentable? (4 punts)
Quin és el nombre d’unitats que deu fabricar l’empresa per a que el benefici siga màxim? Quin és el benefici obtingut en aquest cas? (3 punts)
El pròxim mes s’introduirà una nova normativa que obligarà a l’empresa a fabricar almenys 100 unitats d’aquest producte. Quin és el màxim benefici que podrà obtindre l’empresa després de la implantació d’aquesta normativa? Justifica la teua resposta. (3 punts)

Encara no disponible.

Juny 2021 – Problema 4

Des de l’inici de 1980, la capacitat (quantitat de gas que pot extraure’s) d’una explotació gasística, expressada en milers de metres cúbics, ve donada per la funció $f(x) = 36600 + 1500 x - 15 x^2$ , on la variable $x$ representa el temps en anys transcorreguts des de l’inici de 1980.

Calcula la capacitat de l’explotació a l’inici de 1980. (2 punts)
Calcula quant de temps ha de passar des de l’inici de 1980 per a que la capacitat aplegue al seu valor màxim, i quin és aquest valor màxim (en milers de metres cúbics). (4 punts)
Si el benefici en euros per metre cúbic de gas disminueix cada any segons la funció $g(x) = 3 - \dfrac{3x^2}{12100}$ , calcula quant de temps deu passar per a que l’explotació deixe de ser rentable i quina serà la seua capacitat (en milers de metres cúbics) de l’explotació en eixe moment. (4 punts)

Encara no disponible.