Matemàtiques II PAU

Proves PAU Comunitat Valenciana

Geometria

Juliol 2022 – Problema 3

Donats els punts A = (2,0,0) i B = (0,1,0), i la recta s: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{3}=z:
  1. Trobar l’equació de la recta r que passa pels punts A i B. (2 punts)
  2. Determinar l’equació implícita del pla que conté a la recta s i és paral·lel a la recta r. (4 punts)
  3. Calcular la distància del punt A a la recta s. (4 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2022 – Problema 4

Donats els punts A = (2,1,-2) i B = (3,2,3), i el pla \pi definit per 2x+2y+z=3, obtindre:
  1. El punt de tall C entre el pla \pi i la recta perpendicular a \pi que passa per B. (5 punts)
  2. L’àrea del triangle que té per vèrtexs els punts A, B i C. (5 punts)

Encara no disponible.

Juny 2022 – Problema 3

Donades les rectes r: \begin{cases} x = z-1 \\ y=2-3z \end{cases} i s: \begin{cases} x=4-5z \\ y=4z-3 \end{cases}, es demana:

Donades les rectes r: \begin{cases} x = z-1 \\ y=2-3z \end{cases} i s: \begin{cases} x=4-5z \\ y=4z-3 \end{cases}, es demana:
  1. Indicar justificadament la posició relativa de r i s. (5 punts)
  2. Trobar l’equació de la recta l que passa per l’origen i talla a r i s. (5 punts)

Encara no disponible.

Juny 2022 – Problema 4

Donats els plans \pi_1: 2x-y-z+4 = 0 i \pi_2: \begin{cases} x=-1+\alpha \\ y = 1+\alpha+\beta \\ z=\alpha-\beta \end{cases}, i la recta r: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{-1}. Es demana:
  1. Calcular la posició relativa de \pi_1 i \pi_2. (3 punts)
  2. Calcular el punt P' que és simètric al punt P=(1,0,0) respecte del pla \pi_1. (4 punts)
  3. Calcular, si existeix, el punt d’intersecció de \pi_1 i r. (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2021 – Problema 2

Es donen les rectes r: \begin{cases} x+y -1 = 0 \\ 2x-z-1 = 0 \end{cases}, \ s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2} i el pla \pi: x+my+z=2 que depén del paràmetre real m. Es demana:
  1. La posició relativa de les rectes r i s. (4 punts)
  2. El valor del paràmetre m per a que la recta r estiga continguda en el pla \pi. (3 punts)
  3. Els punts A, B, C intersecció del pla \pi amb els eixos coordenats quan m = 2, així com el volum del tetraedre de vèrtexs A, B, C i P(2,2,2). (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2021 – Problema 5

Donats els punts P(1,1,0), Q(2,-1,1) i R(\alpha, 3, -1), es demana:
  1. L’equació del pla que conté a P, Q i R quan \alpha = 1 i la distància de dit pla a l’origen de coordenades. (3 punts)
  2. L’equació de la recta r que passa per R quan \alpha = 1 i és paral·lela a la recta s que passa per P i Q. Calculeu la distància entre les rectes r i s. (4 punts)
  3. Els valors d’\alpha per als quals P, Q i R estan alineats i l’equació de la recta que els conté. (3 punts)

Encara no disponible.

Juny 2021 – Problema 2

Es donen els plans \pi_1: x+y+z=a-1, \pi_2: 2x+y+az=a i \pi_3: x+ay+z = 1.
  1. Determineu la posició relativa dels tres plans en funció del paràmetre a. (4 punts)
  2. Per a a = 1, calculeu, si existeix, la recta de tall entre els plans \pi_1 i \pi_3. (3 punts)
  3. Per a a = 2, calculeu, si existeix, la recta de tall entre els plans \pi_1 i \pi_2. (3 punts)

Encara no disponible.

Juny 2021 – Problema 5

Donats el punt P(1,2,3) i el pla \pi \equiv 3x+2y+z+4 = 0, es demana:
  1. Calculeu la distància del punt P al pla \pi. (2 punts)
  2. Calculeu el punt P' que és simètric del punt P respecte del pla \pi. (5 punts)
  3. Calculeu l’equació del pla \pi' que passa per P' i és paral·lel a \pi. (3 punts)

Encara no disponible.

Setembre 2020 – Problema 2

Es donen els plans \pi: x+y = 1, \pi': x-y+z=1 i el punt P(1,-1,0).Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. Unes equacions paramètriques de la recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans \pi i \pi'. (3 punts)
  2. La distància de la recta r als plans \pi i \pi'. (3 punts)
  3. Les equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment a la recta obtinguda com intersecció dels plans \pi i \pi'. (4 punts)

Setembre 2020 – Problema 5

Es donen les rectes r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}, \ \lambda \in \mathbb{R}, \ \ s: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z+2}{1} i el pla \pi: 3x+\alpha y-z+1=0. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. Si hi ha algun valor del paràmetre \alpha per al que la recta r està continguda en el pla \pi. (4 punts)
  2. La distància entre les rectes r i s. (3 punts)
  3. El cosinus de l’angle que forma la recta r i la recta t: \begin{cases} 2x-y = 0 \\ y-z = 2 \end{cases}. (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2020 – Problema 2

Siga la recta r: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{-1} i els punts P = (1,0,0) i Q = (2,1,\alpha). Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. El valor d’\alpha per a que la recta que passa P i Q siga paral·lela a r. (3 punts)
  2. L’equació del pla que conté a P i Q i és paral·lel a r, quan \alpha = 1. (3 punts)
  3. La distància del punt Q al pla que passa per P i és perpendicular a r, quan \alpha = 1. (4 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2020 – Problema 5

Es donen el pla \pi: 2x+y-z-5 = 0 i els punts A(1,2,-1) i B(2,1,0). Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. L’equació implícita del pla que passa pels punts A i B i és perpendicular a \pi. (4 punts)
  2. Les equacions paramètriques de la recta r que és perpendicular a \pi i passa per A. Troba dos plans els quals la seua intersecció siga la recta r. (1+2 punts)
  3. La distància entre el punt B i la recta r. (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2019 – Problema A.2.

Es tenen el pla \pi: 2x+y+2z = 8 i el punt P = (10, 0, 10 ). Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. La distància del punt P al pla \pi. (3 punts)
  2. L’àrea del triangle el qual els seus vèrtexs són els punts A, B i C, obtinguts al trobar la intersecció del pla \pi amb els eixos de coordenades. (4 punts)
  3. El volum del tetraedre el qual els seus vèrtexs són P, A, B i C. (3 punts)

Encara no disponible.

Juliol 2019 – Problema B.2.

Es donen en l’espai la recta r: \ \dfrac{x-\alpha}{-1} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z}{\beta} i el pla \pi: \ x+2y+3z=6. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. La posició relativa de la recta r y el pla \pi en funció dels paràmetres reals \alpha i \beta. (5 punts)
  2. La distància entre la recta r i el pla \pi quan \alpha = 6 i \beta = 3. (3 punts)
  3. L’equació del pla que passa per (0,0,0) i que no talla al pla \pi. (2 punts)

Encara no disponible.

Juny 2019 – Problema A.2.

Considerem en l’espai les rectes r: \ \begin{cases} x-y+3 &= 0 \\ 3x-z+4 &= 0 \end{cases} i s:\ x=y+1 = \dfrac{z-2}{2}. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. L’equació del pla que conté les rectes r i s. (3 punts)
  2. La recta que passa per P = (0,-1,2) i talla perpendicularment a la recta r. (4 punts)
  3. El valor que deuen tindre els paràmetres reals a i b per a que la recta s estiga continguda en el pla \pi:\ x-2y+az=b. (3 punts)

Juny 2019 – Problema B.2.

Siga \pi el pla d’equació 9x+12y+20z = 180. Obtín raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
  1. Les equacions dels dos plans paral·lels a \pi que disten 4 unitats de \pi. (4 punts)
  2. Els punts A, B i C intersecció del pla \pi amb els eixos OX, OY i OZ i l’angle que formen els vectors \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{AC}. (4 punts)
  3. El volum del tetraedre el qual els seus vèrtexs són l’origen O de coordenades i els punts A, B i C.  (2 punts)

Encara no disponible.