Juliol 2022 Ciències – Matemàtiques II PAU

En les respostes es deuen escriure tots els passos del raonament utilitzat.

Problema 1

Donat el sistema d’equacions $\begin{cases} ax+y = 1 \\ x+z = 1 \\ x+ay+(a-1)z=a \end{cases}$ .

Discutir el sistema en funció del paràmetre real $a$ . (5 punts)
Trobar totes les solucions del sistema quan aquest siga compatible. (5 punts)

Problema 2

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} a+b & 1 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}$ :

Calcular els valors dels paràmetres $a$ i $b$ per a que es complisca que $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . (4 punts)
Per als valors d’ $a$ i $b$ obtinguts en l’apartat anterior, calcular $A^3$ i $A^4$ . (3 punts)
Calcular $det(A^{-50})$ quan $a^2-b^2 \neq 0$ . (3 punts)

Problema 3

Donats els punts $A = (2,0,0)$ i $B = (0,1,0)$ , i la recta $s: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{3}=z$ :

Trobar l’equació de la recta $r$ que passa pels punts $A$ i $B$ . (2 punts)
Determinar l’equació implícita del pla que conté a la recta $s$ i és paral·lel a la recta $r$ . (4 punts)
Calcular la distància del punt $A$ a la recta $s$ . (4 punts)

Encara no disponible.

Problema 4

Donats els punts $A = (2,1,-2)$ i $B = (3,2,3)$ , i el pla $\pi$ definit per $2x+2y+z=3$ , obtindre:

El punt de tall $C$ entre el pla $\pi$ i la recta perpendicular a $\pi$ que passa per $B$ . (5 punts)
L’àrea del triangle que té per vèrtexs els punts $A, B$ i $C$ . (5 punts)

Encara no disponible.

Problema 5

Calcular, indicant tots els passos, la següent integral indefinida: $\displaystyle \int{ \dfrac{18}{x^2-5x-14} \ dx }$ . (5 punts)
Determinar, en funció de $t$ , el valor $\displaystyle \int_ 8^t{ \dfrac{18}{x^2-5x-14} \ dx }$ (2 punts)
Determinar el valor de $t$ major que 8 per a que $\displaystyle \int_ 8^t{ \dfrac{18}{x^2-5x-14} \ dx }$ siga igual a $\ln \dfrac{25}{4}$ . (3 punts)

Problema 6

Considerar la funció $f(x) = e^{-x^2}$ per als valors positius de $x$ . Per cada punt $M = \big( x, f(x) \big)$ de la gràfica de $f$ es tracen dues rectes paral·leles als eixos de coordenades $OX$ i $OY$ . Aquestes dues rectes, junt amb els eixos de coordenades, defineixen un rectangle.

Determinar l’àrea del rectàngle en funció de $x$ . (3 punts)
Trobar el punt $M$ que proporciona major àrea i calcular aquesta àrea. (7 punts)