Matemàtiques II PAU

Proves PAU Comunitat Valenciana

Juny 2022 Ciències

En les respostes es deuen escriure tots els passos del raonament utilitzat.

Problema 1

Donades les matrius A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} i C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. Es demana:
  1. Demostrar que C - AB^T té inversa i calcular-la. (4 punts)
  2. Calcular la matriu X que verifica CX = AB^TX+I, on I és la matriu identitat. (3 punts)
  3. Justificar que (AB^T)^n = 2^nI per a tot nombre natural n. (3 punts)

Problema 2

Donada la matriu A = \begin{bmatrix} m & 0 & m-1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{bmatrix}. Determinar:
  1. El rang de la matriu A en funció del paràmetre real m. (4 punts)
  2. La matriu inversa d’A en el cas m = 2. (4 punts)
  3. El nombre real m per al que el determinant de la matriu 2A és igual a -8. (2 punts)

Problema 3

Donades les rectes r: \begin{cases} x = z-1 \\ y=2-3z \end{cases} i s: \begin{cases} x=4-5z \\ y=4z-3 \end{cases}, es demana:
  1. Indicar justificadament la posició relativa de r i s. (5 punts)
  2. Trobar l’equació de la recta l que passa per l’origen i talla a r i s. (5 punts)

Encara no disponible.

Problema 4

Donats els plans \pi_1: 2x-y-z+4 = 0 i \pi_2: \begin{cases} x=-1+\alpha \\ y = 1+\alpha+\beta \\ z=\alpha-\beta \end{cases}, i la recta r: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{-1}. Es demana:
  1. Calcular la posició relativa de \pi_1 i \pi_2. (3 punts)
  2. Calcular el punt P' que és simètric al punt P=(1,0,0) respecte del pla \pi_1. (4 punts)
  3. Calcular, si existeix, el punt d’intersecció de \pi_1 i r. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 5

Considerem la funció f(x) = \dfrac{x^2+3}{x^2-4}. Obtindre:
  1. El domini i els punts de tall amb els eixos. (1 punt)
  2. Les assímptotes de la funció. (2 punts)
  3. Els intervals de creixement i decreixement, i els extrems. (3 punts)
  4. La primitiva de la funció f(x). (4 punts)

Problema 6

Es desitja construir un quadrat i un triangle equilàter tallant en dues parts un cable d’acer de 240 metres de longitud.
  1. Calcular la suma de les àrees del triangle i del quadrat en funció del valor x que correspon amb els metres que mesura un costat del triangle. (3 punts)
  2. Calcular la longitud de cable necessària per a construir el triangle de manera que la suma de les àrees del triangle i del quadrat siga mínima i calcular l’àrea mínima. (7 punts)