Juliol 2021 Ciències – Matemàtiques II PAU

En les respostes es deuen escriure tots els passos del raonament utilitzat.

Problema 1

Donat el sistema d’equacions $\begin{cases} 2x-y+z=m \\ x+y+3z=0 \\ 5x-4y+mz=m \end{cases}$ , on $m$ es un paràmetre real. Es demana:

La discussió del sistema d’equacions en funció del paràmetre $m$ . (4 punts)
La solució del sistema quan $m = 1$ . (3 punts)
Les solucions del sistema quan aquest siga compatible indeterminat. (3 punts)

Problema 2

Es donen les rectes $r: \begin{cases} x+y -1 = 0 \\ 2x-z-1 = 0 \end{cases}, \ s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$ i el pla $\pi: x+my+z=2$ que depén del paràmetre real $m$ . Es demana:

La posició relativa de les rectes $r$ i $s$ . (4 punts)
El valor del paràmetre $m$ per a que la recta $r$ estiga continguda en el pla $\pi$ . (3 punts)
Els punts $A, B, C$ intersecció del pla $\pi$ amb els eixos coordenats quan $m = 2$ , així com el volum del tetraedre de vèrtexs $A, B, C$ i $P(2,2,2)$ . (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 3

Es considera la funció $f(x) = xe^{1-x^2}$ , calculeu:

El domini, els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius. (4 punts)
Les assímptotes i la gràfica de $f$ . (3 punts)
La integral $\int f(x) \ dx$ . (3 punts)

Problema 4

Es donen les matrius $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{bmatrix}$ i $B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ . Obtingau:

El rang de la matriu $A$ segons els valors del paràmetre $a$ . (3 punts)
Una matriu $C$ tal que $AC = 16 I$ , sent $I$ la matriu identitat, quan $a = 0$ . (4 punts)
El rang de la matriu $B$ i la discussió de si el sistema $B \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ té solució. (3 punts)

Problema 5

Donats els punts $P(1,1,0), Q(2,-1,1)$ i $R(\alpha, 3, -1)$ , es demana:

L’equació del pla que conté a $P, Q$ i $R$ quan $\alpha = 1$ i la distància de dit pla a l’origen de coordenades. (3 punts)
L’equació de la recta $r$ que passa per $R$ quan $\alpha = 1$ i és paral·lela a la recta $s$ que passa per $P$ i $Q$ . Calculeu la distància entre les rectes $r$ i $s$ . (4 punts)
Els valors d’ $\alpha$ per als quals $P, Q$ i $R$ estan alineats i l’equació de la recta que els conté. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 6

Volem dissenyar un camp de joc de manera que la part central siga rectangular, i les parts laterals siguen semicircumferències cap a fora. La superfície del camp mesura $(4+\pi$ metres quadrats. Es volen pintar totes les ratlles de dit camp tal i com es mostra en la figura. Es demana:

Escriviu la longitud total de les ratlles del camp en funció de l’altura $y$ del rectangle. (5 punts)
Calculeu les dimensions del camp per a que la pintura utilitzada siga mínima. (5 punts)