Matemàtiques II PAU

Proves PAU Comunitat Valenciana

Juliol 2021 Ciències

En les respostes es deuen escriure tots els passos del raonament utilitzat.

Problema 1

Donat el sistema d’equacions \begin{cases} 2x-y+z=m \\ x+y+3z=0 \\ 5x-4y+mz=m \end{cases}, on m es un paràmetre real. Es demana:
  1. La discussió del sistema d’equacions en funció del paràmetre m. (4 punts)
  2. La solució del sistema quan m = 1. (3 punts)
  3. Les solucions del sistema quan aquest siga compatible indeterminat. (3 punts)

Problema 2

Es donen les rectes r: \begin{cases} x+y -1 = 0 \\ 2x-z-1 = 0 \end{cases}, \ s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2} i el pla \pi: x+my+z=2 que depén del paràmetre real m. Es demana:
  1. La posició relativa de les rectes r i s. (4 punts)
  2. El valor del paràmetre m per a que la recta r estiga continguda en el pla \pi. (3 punts)
  3. Els punts A, B, C intersecció del pla \pi amb els eixos coordenats quan m = 2, així com el volum del tetraedre de vèrtexs A, B, C i P(2,2,2). (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 3

Es considera la funció f(x) = xe^{1-x^2}, calculeu:
  1. El domini, els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius. (4 punts)
  2. Les assímptotes i la gràfica de f. (3 punts)
  3. La integral \int f(x) \ dx. (3 punts)

Problema 4

Es donen les matrius A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{bmatrix} i B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}. Obtingau:
  1. El rang de la matriu A segons els valors del paràmetre a. (3 punts)
  2. Una matriu C tal que AC = 16 I, sent I la matriu identitat, quan a = 0. (4 punts)
  3. El rang de la matriu B i la discussió de si el sistema B \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} té solució. (3 punts)

Problema 5

Donats els punts P(1,1,0), Q(2,-1,1) i R(\alpha, 3, -1), es demana:
  1. L’equació del pla que conté a P, Q i R quan \alpha = 1 i la distància de dit pla a l’origen de coordenades. (3 punts)
  2. L’equació de la recta r que passa per R quan \alpha = 1 i és paral·lela a la recta s que passa per P i Q. Calculeu la distància entre les rectes r i s. (4 punts)
  3. Els valors d’\alpha per als quals P, Q i R estan alineats i l’equació de la recta que els conté. (3 punts)

Encara no disponible.

Problema 6

Volem dissenyar un camp de joc de manera que la part central siga rectangular, i les parts laterals siguen semicircumferències cap a fora. La superfície del camp mesura (4+\pi metres quadrats. Es volen pintar totes les ratlles de dit camp tal i com es mostra en la figura. Es demana:
  1. Escriviu la longitud total de les ratlles del camp en funció de l’altura y del rectangle. (5 punts)
  2. Calculeu les dimensions del camp per a que la pintura utilitzada siga mínima. (5 punts)